如何利用拉格朗日坐标法求解二维和三维Euler-Boussinesq方程的精确解？

　　我们利用拉格朗日描述研究不可压缩欧拉方程的Boussinesq近似。在这种情况下，推导了拉格朗日流体映射的条件，并提出了一种通用方法来寻找二维和三维情况下的精确流体流动。通过这种方法可以获得大量的解，这里仅展示一些有趣的例子，包括二维欧拉–Boussinesq方程的Gerstner类型解。在之前的两篇论文中，我们使用相同的方法找到了均匀欧拉方程的精确拉格朗日解，而本文则展示了如何将这些相同的思想扩展到相关的、更复杂的模型中。

　　我们继续在拉格朗日框架下寻找不可压缩欧拉方程的显式解。在[1, 2]中，我们考虑了均匀情况，而在这里我们处理异质情况的Boussinesq近似。Boussinesq近似的基本思想是流体的密度在均值附近波动不大，因此假设密度是常数，除了表示重力的项外。在许多物理情况下，这种简化是合理的。关于这类模型的一般介绍可以在[3]中找到，而关于拉格朗日描述的一般情况，我们参考[4]。

　　拉格朗日形式的均匀欧拉方程的第一个显式解是Gerstner的解[5]，而且Gerstner类型的解在许多相关模型中出现。例如，Gerstner解在异质欧拉方程中也扮演着重要角色，即使不使用Boussinesq近似。在[6]中显示，Gerstner波也可以是一个条流，即压力和密度是相互依赖的函数，参见Stuhlmeier的现代阐述[7]。Gerstner类型的解在许多物理模型中也很相关，这些模型在某种程度上是欧拉方程的修改。例如，Constantin[8]发现了一个条流的Gerstner类型精确解，适用于考虑科里奥利效应的赤道水波方程的β平面近似。关于Gerstner波适用性的更多论文可以参见[9,10,11,12]，尤其是综述文章[13, 14]。在[15]中，还有一个Gerstner类型的解，适用于异质欧拉方程的渐近展开的第一和第二项。Gerstner类型解的一个显著特性使其受到欢迎，即在许多情况下可以将其解释为自由表面解，换句话说，可以模拟两种不同流体的界面。显然，目前没有其他已知的显式解具有这一特性。

　　许多显式解涉及分层流体流动，通常是剪切流，即仅依赖于高度的二维水平运动。大多数研究使用欧拉框架。至于拉格朗日描述，Yakubovich和Shrira[16]在使用Boussinesq近似时找到了具有柱状运动的解，但似乎在其他地方使用的是欧拉框架。

　　如上所述，针对地球物理流体流动有许多模型，具体取决于特定的上下文。我们选择在本文中分析欧拉–Boussinesq模型。关于该模型及其适用性的详细讨论，请参见[3]。与[1, 2]相同，我们使用分离变量法来计算我们的解，即我们寻找可以表示为时间仅依赖的矩阵和空间仅依赖的向量的流体粒子映射。这种方法导致了例如二维Gerstner类型流动（21），以及在二维和三维情况下的其他大量解。解（21）并不满足大多数Gerstner类型流动的自由边界条件，但它仍然给出了有效的内部流动，这是欧拉–Boussinesq方程的重要应用。特别要注意的是，我们的方法并不局限于欧拉方程和欧拉–Boussinesq方程，我们相信它可以有效地用于分析其他相关模型。例如，Abrashkin[17]推导了赤道β平面流的拉格朗日方程，使任何人都可以轻松尝试我们在下面使用的分离变量策略。此外，上述讨论的所有不同模型中的Gerstner类型解也可以通过我们的方法找到。

　　本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出基本定义并指定将要分析的模型。在第3节中，我们讨论柱状流动，并推广在[16]中给出的一类解。在第4节中，我们找到二维欧拉–Boussinesq方程的精确解，同时利用与均匀情况[1]的相似性。在第5节中，我们考虑三维情况，并使用[2]中概述的框架来寻找欧拉–Boussinesq方程的解。

　　在某些情况下，我们能够找到显式的周期性和非周期性解。在其他情况下，可以证明对于方便的参数值，解在所有时间内存在。最后，有些情况下我们只能说局部解是良定义的。我们允许稳定和不稳定分层流体，因为这两种情况通常可以用一个公式覆盖，尽管在给出具体例子时我们集中在稳定分层的情况。一些我们找到的解既不是稳定分层也不是不稳定分层。我们还注意到，在本文中无法探讨所有不同的情况。

　　设 和 。我们用 表示 A 的列，用 表示其条目。现在 A 的小行列式表示为

　　(1)

　　类似地，dv 的小行列式表示为

　　(2)

　　定义

　　(3)

　　其中 是 的（时间）导数， 仅在 时有用。对于 v 的导数，我们使用多重指标，例如

　　有时我们还会说函数 和 是反Cauchy–Riemann对，或反CR对，如果

　　n维异质不可压缩欧拉方程由以下系统给出

　　(4)

　　这里 u 是速度场， 是密度， g 是重力加速度， 是与重力平行的垂直单位向量。我们将这些方程写在拉格朗日框架中。设 为一个域，考虑一系列微分同胚 。在 D 中的坐标用 z 表示，在 中用 x 表示。我们还可以定义

　　现在给定这样的 ，我们可以通过公式定义相关的向量场 u

　　(5)

　　那么 如果 和

　　(6a)

　　(6b)

　　(6c)

　　其中 和 。因此 仅是空间变量的函数，这也是使用拉格朗日描述的一个重要优势。通常，无法显式地从 恢复 u，因为这需要计算 的逆。唯一的例外是当 对于某个方阵 A 时，得到 。

　　应用Boussinesq近似的标准方法是假设 在每一项中都是常数，除了与 g 相乘的项。因此，Boussinesq近似考虑了密度变化如何影响浮力。这意味着牛顿第二定律（6b）将被替换为方程

　　(7)

　　其中 是平均密度。然而，正如[16]中所示，我们可以在不使方程更难以研究的情况下稍微提高模型的准确性。假设 并对（6b）取旋度，我们得到

　　(8)

　　现在假设（8）中仅有 ，除以 并定义 ，我们得到

　　(9)

　　如果我们使用（7），我们将得到相同的方程，但 定义为 而不是 。因此应当记住， 实际上并不是真正的密度，但可以通过 或 从 中恢复密度。

　　对（9）左侧关于 t 积分，我们得到欧拉方程的Cauchy不变量的等价物：

　　(10)

　　这种积分形式通常是有用的，因为它消除了对 和 的二阶依赖性。但称 h 的分量为“欧拉–Boussinesq方程的Cauchy不变量”或许有些牵强，因为 的时间积分产生了一个任意的 z 函数，因此没有规范的方式来选择 h。

　　在二维情况下，h 只是一个标量，方便地写成以下形式：

　　(11)

　　我们现在已经建立了二维和三维欧拉–Boussinesq方程解的条件：

　　如果且仅如果 在任何地方都成立，且 和 h 与时间无关，则对欧拉–Boussinesq方程提供解，其中 h 在二维情况下由（11）给出，在三维情况下由（10）给出。

　　与我们之前的论文[1, 2]一样，我们尝试寻找形式为 的解，其中 和 。为此，我们需要 和 h 的方便公式。使用（1），（2）和Cauchy–Binet公式，我们得到

　　(12)

　　然后使用（3）我们计算得到

　　(13)

　　其中 是一个函数，使得 。

　　以下引理收集了 和 的一些性质。

　　设 是欧拉–Boussinesq方程的解。

　　1.

　　设 是任意微分同胚，且 ， 。那么 是欧拉–Boussinesq方程的解，当且仅当 是。

　　2.

　　设 。如果 H 是一个具有常数条目的正则矩阵，且 ， ，那么 是一个解。

　　3.

　　在三维情况下，如果 R 是一个常数旋转矩阵，使得 ，那么 也是一个解。在二维情况下，没有非平凡的旋转 R 使得 始终是解。

　　引理第一部分的坐标变换通常允许我们假设在二维情况下 ，在三维情况下 。在本文中，我们始终使用这种简化，但在实践中，通用形式允许更多的灵活性，因为所需的逆映射并不总是可以显式计算。引理的第二部分可以用来在不失一般性的情况下将问题简化。由此也可以得出，如果 或 在 上线性相关，则解简化为较低 m 的情况。另一方面， 是 的线性组合并不意味着解以这种方式简化。

　　公式（12）和（13）使我们能够推导出对空间函数 和 应设置的约束。我们希望 和 h 的时间导数在所有 t 上消失，因此，例如在二维情况下，固定任何 t 会产生如下形式的约束

　　其中 ， 和 是常数。因此，空间函数需要满足许多这样的约束。通过将这些约束方程代入 和 h 的公式，我们也立即获得了时间函数 需要满足的条件。在[1]和[2]中，我们从 和 h 的公式推导了均匀欧拉方程的空间约束，尤其在[1]中，我们详细说明了我们研究的情况中所有可能的本质不同的约束集。在欧拉–Boussinesq方程的情况下，这种分析通过引理2的第二部分进行，得出非常相似的结果，因此在本文中我们主要考虑与[1, 2]中类似的情况。这里 h 公式中 的存在使得分析略有不同，尽管我们也考虑了 的几种不同可能性，但我们省略了大量情况，其中 和 v 之间的相互作用更为复杂。

　　h 的方程是关于 的二阶微分方程。这使得问题在一般情况下非常困难，但我们仍然可以找到一些精确解，尽管我们通常需要限制在某些特殊情况下，其中 中的项不多。即便如此，我们能够找到的不同解的数量如此之大，以至于我们必须限制在看似有趣且足够简单的情况。许多时候，当我们有一个欠定系统并能够任意选择某些函数时